超几何分布中的期望

超几何分布

模型

对于 $N=N_1+N_2$ 个外表相同的物品，从中抽取 $n$ 个物品，每个物品抽取等概率随机

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$n$ 个中有 $x$ 个 $N_1$ 类物品的概率

首先，若 $x>N_1$ 概率为 $0$ ，故不需考虑

对于所取的 $n$ 个数，若满足条件：

- 从 $N_1$ 个中抽 $x$ 个 ， 有 $\displaystyle{\binom{N_1}{x}}$ 种

- 从 $N_2$ 个中抽 $n-x$ 个 ， 有 $\displaystyle{\binom{N_2}{n-x}}$ 种

所以总合法取法有 $\displaystyle{\binom{N_1}{x} \binom{N_2}{n-x}}$ 种 ， 而总取法有 $\displaystyle{\binom{N}{n}}$

$$\therefore P(X=x)= \frac{\binom{N_1}{x} \binom{N_2}{n-x}}{\binom{N}{n}}$$

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抽出 $x$ 个 $N_1$ 的期望

$$E(x)=\sum_{x=0}^{N_1} x\times P(X=x) =\sum_{x=1}^{N_1} x\times P(X=x)$$

由组合数公式 $\displaystyle{\binom{N}{n}=\frac{N}{n} \binom{N-1}{n-1}}$ 得

$$\begin{aligned}原式 &=\sum_{x=1}^{N_1} x\times \frac{ \frac{N_1}{x} \binom{N_1-1}{x-1} \binom{N_2}{n-x} }{ \frac{N}{n} \binom{N-1}{n-1}} \\ &=\frac{n\times N_1}{N} \sum_{x=1}^{N_1} \frac{ \binom{N_1-1}{x-1} \binom{N_2}{n-x}}{ \binom{N-1}{n-1}} \\ &=\frac{n\times N_1}{N} \sum_{x=1}^{N_1} \frac{ \binom{N_1-1}{x-1} \binom{N_2}{(n-1)-(x-1)}}{ \binom{N-1}{n-1}} \\ &=\frac{n\times N_1}{N} \sum_{x=1}^{N_1} P(X=x-1) \end{aligned}$$ $$\because \sum_{x=1}^{N_1} P(X=x-1) 的含义为：n 中有 x-1 个 N_1 的概率和$$ $$\therefore \sum_{x=1}^{N_1} P(X=x-1)=1$$ $$\therefore 原式=\frac{n\times N_1}{N}$$